クローゼットで同棲している方いらっしゃいますか？

3年半ほど同棲してます。彼女の親御さんにはカミングアウトしていますが、私は自分の親はもちろん職場にもカミングアウトせずにここまで過ごしています。

＞その場合、例えばお互いに何かあった時の病院での面会や緊急連絡先等はどうお話し合いされていますか？

昨年彼女が急性の内臓疾患で夜間に救急外来を受診、そのまま約1ヶ月ほど入院したことがあります。
彼女の親御さんのご厚意で、私も親族扱いで面会等をさせてもらえました。病院ごとに対応は異なるかもしれませんが、やはり相手または自分の親族にカミングアウトしておくことは必要だと痛感しました。
私も自分の親にはカミングアウトしていないですが、「今同居してる人がいて、自分と生活を共にしてある程度面倒をみてくれてる人である」ということは伝えてあります。(なかなか難しいですけどね)
あとは緊急連絡カードみたいなものを自作し、財布の中に入れてあります。もし出先で自分が倒れた時も彼女に連絡が行くようにしてあります。

＞また、パートナーシップ制度はクローゼットでも利用可能でしょうか？(第三者にバレたりしないものか)

個人的な意見ですが、パートナーシップって実生活ではほぼ役に立たないのでそもそもいらないな〜と思ってます。キラキラしたイメージだけ先行してますが、どうせ自治体レベルの効力ですし、戸籍謄本等に書かれるわけでもありませんのでこちらから公表しない限りはバレません。
2人の関係を大事にするためのアクセサリー程度にしかならないんじゃないかな〜という認識です。

私たちはマンションを購入して暮らしていますが、パートナーシップなんか結ばなくても購入できますし、相続の際などは結んでても全く役に立ちません。
本気で将来を考えるなら公正証書か養子縁組ですかね。それでも相続では法定婚に比べてめちゃくちゃ税金取られちゃいますけどね…

実体験ばかりで参考にはならないかもしれませんが…彼女さんと仲良く頑張ってくださいね〜。