彼女と結婚したいけど親にcoしてない

初投稿です。
バイの20代でセクはフェムネコです。
相手は1つ年上の元ノンケ、中性タチで、セク固定のカップルです。
付き合って2年、遠恋で年に3回くらいしか会えませんが、とても幸せです。たまに私が病んで喧嘩するけど毎回彼女が慰めてくれて…を繰り返しています。

去年の私の誕生日に彼女がプロポーズしてくれて、オーダーメイドの婚約指輪も貰いました。彼女は、今度は夫婦として結婚指輪を2人で買いに行きたいとまで言ってくれました。

日本にいる以上、婚姻関係は結べない、でも私が飛行機恐怖症なので海外に行って結婚もできない、パートナー登録ができる市町村に住んでいないのでそれもできない、引越しも考えていない…
彼女もそれらは分かってくれています。
そして、タイトルにもあるように、私も彼女も親にカミングアウトしていません。
なので、LGBT対応？の式場で親族だけの結婚式を挙げることもできません。
彼女がクマが好きなのですが、その理由が、小さいときに結婚式に招待され？て、白いウェディングベアを見て一目惚れしたからだそうです。そんなこともあり、結婚式を挙げたいと思うのですが……。
2人だけで結婚式を挙げることは可能なのでしょうか？
色々調べましたが、リサーチ不足なのか分からないことが多いです……

言葉不足で伝わらないこともあるかと思いますが、要約すると、同性カップルが親族に隠したまま当事者たちだけで結婚式を挙げることはできるのか？ということです。前説が長くなりすみません。

皆様のお力添えをお願い致します。