元カノの誕生日

何年か付き合ってるなら覚えているのでは？で、別れても友達になれるタイプの人間なら普通に友達としてメッセージくれるパターンもあるかと。

ある程度長い付き合いなら覚えてると思いますよ。
恋人との間に共通の友人が多かったら、別れてからもそれなりに良い関係を築く必要があるので、誕生日LINEくらいはするかもです。

基本的に恋人が元カノ(元彼)と連絡を取るのは面白くない派なので、やんわりとそういう考えは伝えますが、相手にも事情はあると思うのであまりうるさく言うのも良くないかなとは思います。

それまでまったく疎遠で連絡がなかった元恋人さんであるならば、未練があるから送って来ているのだと思います

どう思うのが普通かを聞いて、
ご自身もその思考になるように自己暗示でもかけるつもりでしょうか？

普通覚えてるのでは！覚えてないとか記憶力やばいかと

元カノの誕生日は流石に覚えてるのでは。
それ自体は問題ないですが、わざわざ元カノの誕生日にメッセージ送るのはちょっとどうかと思いますね。
私は元カノと友人になれるのはよく分からないので「未練があるんじゃないか」とか邪推してしまいます。

恋人の元カノから誕生日おめでとうのメッセージが来ることくらいあるでしょうよ、、だって誕生日なんだし。
だから何ですか？今はあなたの彼女ですよね？
受け流しましょうよ、だって今はあなたと付き合ってるんだし。