年上の女性の連絡先が知りたい

断られたところで、実習後はもう会うことはないんだし、一瞬勇気を出すだけ。
逆に言えば、今回聞けなければ二度とチャンスはない。嫌がるかどうかは相手次第で分からないから、恐れても仕方ない。

共通の趣味なり何らかの話題が見つかるといいですね。ひとまず毎日挨拶だけでも交わすことを目指してみては。

同意です。
毎日挨拶、感じの良い笑顔、もっと頻繁に世間話する、共通の話題を探す…仲良くなったそのうえで勇気出して連絡先聞けばいいと思います。

仲良くなる前にもし連絡先聞けたとしても、話題がなければやりとりもできないし、ましてや会うことなんて無理に近いです。

う～ん私だったら好きな食べ物聞いて、それ私も最近食べたい(または好き)といって(お相手の名前)さんと食べに行きたいです！っていいますね。(その流れで連絡取れないと困るから教えてくださいっていう）。
あなたと一緒にいて楽しいは伝えていやがることは人間ないと思います。ノリで相手の好物を食べに行く話もできないならまずはそこから距離縮めれたらなと思います。ちょっと空気感や主様の普段の態度などがよくわからないのですが、参考になれば幸いです。

あと他の方のご回答のとりあえず聞くの大事よねって意見も個人的には賛同です。
8月末ならまだ時間はたくさんあります。例え付き合えなくてもやれること全部やっておかないと後から後悔すると思いますのでがんばってください＾＾