下宿

その下宿に直接電話して問い合わせで聞くしかないと思います。
親の転勤があるけど、どうしても県内の高校に進学したくてって言えば多少温情で入れてもらえるかも？下宿のシステムについては詳しくないですが…

高校生で下宿する人はそう居ないので、大学生しか想定してないんだと思います。先の回答のように直接問い合わせしてみるしかないでしょう。

それより、お母様の「納得するプランを立ててこい」というのは下宿先を探してこいという意味なのですか？文面だけ見ると「その志望校でなくてはいけない理由を明確にしなさい」という意味だと思ったので。
下宿させるのは金銭的な負担も大きいですし、何よりまだ高校生なのに目の届かないところに住まわせるというのは普通の親なら許可しないと思います。
かなりの遠距離通学をしていた高校の友人は、しばらくして学校近くの親戚の家に下宿していました。商売の下宿先ではなくて、親戚の家など親御さんが少しは安心できる場所はありませんか？
金銭的なことはバイトをして親の負担を減らすようにするから、というのも説得材料になるかもしれません。
学校の先生や親戚など、身近にいる大人にも相談してみた方が良いと思います。